Выделение полного квадрата🤯

Привет! Сейчас мы разберём, что такое выделение полного квадрата и зачем это нужно. Обещаю, это помогает решать задачки: самая изюминка ждёт в конце ;)
Метод основывается на формуле сокращённого умножения, которую изучают ещё в 7 классе:

Когда нам попадается такое выражение, что мы можем воспользоваться этой формулой, мы встречаем то, что называется полный квадрат. Например:

Выделение полного квадрата🤯, изображение №2

Однако так везёт не всегда. К примеру, следующее выражение, как видно после простого преобразования, состоит из полного квадрата и ещё некоторой «добавки»:

Выделение полного квадрата🤯, изображение №3

Вот такое преобразование, когда мы преобразуем выражение в полный квадрат + ещё что-то, и называется выделением полного квадрата. Сейчас разберёмся, всегда ли можно такое провернуть, и зачем это всё-таки нужно.

1. Произвольный квадратный трёхчлен

Можно заметить, что выше мы рассматривали только выражения, которые являются квадратными трёхчленами. Хочется задаться вопросом: если нам дали какой-то произвольный квадратный трёхчлен, можно ли в нём выделить полный квадрат? Ответ: да! И для этого есть общий метод, который мы сейчас разберём на примере написанного «от балды» квадратного трёхчлена.

Берём наш трёхчлен и выносим старший коэффициент за скобку из всех выражений с x, чтобы x² оказался с коэффициентом 1:

Выделение полного квадрата🤯, изображение №4

Выражение с x надо представить в виде 2·x·число:

Выделение полного квадрата🤯, изображение №5

А потом нужно (фокус-покус!) добавить число², и его же вычесть — тем самым, в сумме мы ничего не изменим:

Выделение полного квадрата🤯, изображение №6

Но зато то, что выделено жёлтым, это теперь полный квадрат! И мы можем преобразовать выражение вот так:

Выделение полного квадрата🤯, изображение №7

Наконец, осталось только раскрыть скобки, и мы получим итоговое выражение с выделенным полным квадратом:

Выделение полного квадрата🤯, изображение №8

2. Корни квадратного трёхчлена

Что нам это дало? Мы теперь очень много можем сказать про изначальное выражение. Например, если мы хотим найти его корни, то это очень просто сделать:

Выделение полного квадрата🤯, изображение №9

Выделение полного квадрата🤯, изображение №10

Выделение полного квадрата🤯, изображение №11

Выделение полного квадрата🤯, изображение №12

Выделение полного квадрата🤯, изображение №13

Если проделать это с произвольным квадратным трёхчленом, то получится как раз всем известная формула корней через дискриминант!

3. Минимум и максимум

Преобразование

Выделение полного квадрата🤯, изображение №14

позволяет изучить квадратный трёхчлен на минимум и максимум. Слева совершенно непонятно, какое наименьшее значение он может принимать. Однако в форме как справа всё совершенно очевидно: квадрат — всегда число неотрицательное! А значит, минимальное значение, которое трёхчлен может принять, есть

Выделение полного квадрата🤯, изображение №15

Более того, понятно, при каком значении x оно достигается: надо, чтобы квадрат был нулём, то есть

Выделение полного квадрата🤯, изображение №16

4. Наконец, задачка из ЕГЭ😋
Задание 11. Найдите наименьшее значение функции

Выделение полного квадрата🤯, изображение №17

В первую очередь, заметим, что если a больше b, то и 7^a больше 7^b. Поэтому для того, чтобы найти наименьшее значение всей функции достаточно найти наименьшее значение квадратного трёхчлена, стоящего в степени, и потом возвести 7 в соответствующую степень. Попробуем:

Выделение полного квадрата🤯, изображение №18

Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно 2 и достигается при значении x равном 1. Значит, ответ: 7²=49.